KÜMELER

 1. TANIM

      Kümeler, günümüz matematiğinde en önemli konularından biridir.Birçok problemin anlatımını ve çözümünü kolaylaştırır.

      Küme, matematiğim tanımsız terimlerinden biridir. Kümeleri, sınırları kesin olarak

belirtilmiş, nesneler topluluğu olarak kabul edeceğiz.

      Bir kümeyi oluşturan nesnelerden her birine, kümenin elemanı denir. a elamanı A

kümesine ait ise a ∈A şeklinde yazılır. “a, A kümesinin elemanıdır.” diye okunur. a, 

elemanı A kümesine ait değil ise a ∉ A şeklinde yazılır. “a, A kümesinin elemanı

değildir.” diye okunur.

      Kümeler genellikle büyük harflerle, elemanları da küçük harflerle gösterilir.

      ÖRNEK

      Aşağıdaki ifadelerden hangisinin, bir kümeyi belirtip belirtmeyeceğini inceleyelim.

a) 5 ile 12 arasındaki doğal sayılar

b) Sınıfınızdaki çalışkan öğrenciler.

c) 30 gün süren aylar.

d) Alfabemizdeki bazı harfler.

      Örneğin a ve c seçeneğindeki ifadeler, birer küme belirtir. Çünkü hangi 

nesnelerin hangi kümenin, kapsamına alınacağı ve hangilerinin alınmıyacağı kesinlikle

bellidir. b ve d seçeneğindeki ifadeler birer küme belirtmez. Çünkü kümeyi meydana

getiren nesneler açık ve anlaşılabilir değildir.
      2. KÜMELERİN GÖSTERİMİ
      a. Liste Yöntemi ile Gösterimi
      Kümeyi meydana getiren nesneler, { } içerisinde ve aralarına virgül konularak
yazılır. Kümenin bu şekilde gösterilmesine, Liste yöntemi ile gösterimi denir. Kümenin
liste şeklindeki yazılışında, elemanların yazılış sırası önemli değildir. Kümeye her
eleman bir defa yazılır.
    
      ÖRNEK
      Alfebemizdeki sesli harflerden oluşan A kümesini liste yöntemi ile yazalım.
      A = {a, ı, o, u, e, i, ö, ü} şeklinde yazılır.
      
      b. Venn şeması ile Gösterimi
      Kümeyi meydana getiren nesnelerin adları, resimleri ya da simgeleri kapalı bir eğri
çizgisinin içine alınır. Kümenin bu şekilde gösterilmesine, Venn şeması ile Gösterimi
denir. Kümenin elemanlarının, küme içinde yazıldığı yerler önemli değildir.

      ÖRNEK
      Liste yöntemi ile verilen A= {1, 2, 3, 4} ve B = { 1,3, 5} kümelerini, Venn şeması
ile gösterelim.
A ve B kümelerin Venn şeması ile gösterimi

      




      c. Ortak Özelik Yöntemi ile Gösterimi
      Kümenin elemanları arasında ortak bir özelik varsa, bu özelik belirtilerek küme
gösterilebilir. Kümenin bu şekilde yazılmasına, ortak özelik yöntemi ile gösterimi denir
      
      ÖRNEK
      Liste yöntemi ile verilen A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesini ortak özelik yöntemi ile
gösterelim. 

      A kümesinin her bir elemanı doğal sayıdır. Bu sayılar sıfırdan büyük, yediden

küçüktür. Bu nedenle bu kümeyi A ={x | 0 < x < 7 ve x doğal sayıdır} şeklinde yazılır.

“x öyleki, sıfırdan büyük yediden küçük ve x doğal sayıdır.” diye okunur.

      3. KÜMELERİN KARŞILAŞTIRILMASI

     
      a. Kümenin Eleman Sayısı

      Bir kümeye ait eleman sayısına kümenin eleman sayısı denir.

Bir A kümesinin n tane elemanı varsa, s (A) = n şeklinde gösterilir.

      ÖRNEK

      Verilen A ={ a, b, {a, b}, c} kümesinin eleman sayısını bulalım. 

Verilen A kümesinin eleman sayısı dörttür. s(A) = 4 şeklinde gösterilir.

      b. Sonlu Kümeler:

      Elemanları sayılarak belirtilebilen kümelere sonlu kümeler denir

      ÖRNEK

      Verilen A = {x | 1 < x ≤ 4 ve x doğal sayıdır.} kümesi sonlu bir kümedir. Çünkü

elemanlar› sayılarak, üç elemanlı bir küme olduğu görülüyor.

      c. Sonsuz Kümeler:

      Elemanları sayılarak belirtilemeyen veya sayılamayacak kadar çok elemanlı olan

kümelere, sonsuz kümeler denir.

      ÖRNEK

      Bir doğru üzerindeki noktalar kümesi, doğal sayılar ve tam sayılar kümesinin 

elemanlar› sayılamayacak kadar çoktur. Bunun için bu kümelere sonsuz küme denir.

      ç. Boş Küme 

      Hiçbir elemanı olmayan kümeye, boş küme denir. Boş küme, ∅ ya da { } şeklinde

gösterilir.

      d. Eşit Kümeler

      Herhangi iki A ve B kümeleri verilmiş olsun. A kümesinin her elemanı, B

kümesinin de bir elemanıysa ve B kümesinin her elemanı da, A kümesinin bir elemanıysa, A ile B kümeleri eşittir.

     Aynı elemanlardan oluşan kümelere, eşit kümeler denir. A= B şeklinde gösterilir.

“A kümesi B kümesine eşittir diye.” okunur.

Herhangi iki küme eşit değilse, bu kümelere, farklı kümeler denir

      ÖRNEK

      A = {x | 1 < x < 6 ve x doğal sayıdır.} kümesi ile B = {2, 3, 4, 5} kümeleri 

veriliyor. Bu kümelerin eşit kümeler olduğunu gösterelim. 

      A kümesinin her elemanı, B kümesinin bir elemanıdır. B kümesinin her elemanı da,

A kümesinin bir elemanıdır.

      O halde, A ve B kümeleri eşit kümelerdir. A = B dir

      e. Denk Kümeler:

      Herhangi iki A ve B kümeleri verilmiş olsun. A ve B kümesinin elemanlar›, bire

bir eşlenebiliyorsa bu kümelere, denk kümeler denir.

Tanıma göre, eleman sayıları eşit olan kümeler denk kümelerdir. A ve B gibi iki

küme birbirine denk ise A≡B şeklinde gösterilir. “A kümesi B kümesine denktir .” diye

okunur.

     Bütün eşit kümeler denk kümelerdir. Fakat denk kümeler eşit kümeler olmayabilir.

      4. ALT KÜME (KÜME PARÇASI)

      a) Alt Küme

      Herhangi iki A ve B kümeleri verilmiş olsun. A kümesinin her elemanı B

kümesinin de bir elemanı ise A kümesine B kümesinin bir alt kümesi denir. A ⊂ B

şeklinde yazılır “A alt küme B” diye okunur.
Bu tanıma göre, (A⊂ B) ⇔ (∀ x ∈ A⇒ x ∈ B) dir.
A ⊂ B yi şekildeki gibi Venn şeması ile gösterelim.

 Venn şemasında B kümesi, A kümesini içine aldığından, B ⊃ A dır.
Bu da “B kapsar A” diye okunur.




  

   

      A kümesinde olup B kümesinde olmayan en az bir eleman varsa, A kümesi B
kümesinin bir alt kümesi değildir. Bu durumda B kümesi A kümesini kapsamaz B ⊃ A
veya A ⊄ B fleklinde gösterilir.

      ÖRNEK 
      A = {a, b, c, d, e} ve B = {a, c, e} kümeleri veriliyor. B kümesi, A kümesinin bir alt
kümesi olduğunu Venn şemasıyla gösterelim

Venn şemasında A ile B kümeleri gösterilmiştir. Burada B ⊂ A dır.







     

      b. Alt Kümenin Özelikleri:

      1. Etkisiz eleman özeliği: Boş küme, her kümenin bir alt kümesidir. (∅ ⊂ A) 
      2. Yansıma özeliği: Her küme, kendisinin bir alt kümesidir. (A ⊂ A) 
      3. Geçişme özeliği: A, B ve C kümeleri için, A kümesi B kümesinin alt kümesi ve B 
kümesi de C kümesinin alt kümesi ise A kümesi C kümesinin bir alt kümesidir.
(A ⊂ B)Λ (B ⊂ C) ⇒ (A ⊂ C) (geçişme özeliği)
      4. Ters simetri özeliği: A ve B kümeleri için, A kümesi B kümesinin alt kümesi ve 
B kümesi de A kümesinin alt kümesi ise A kümesi B kümesine eşittir.
(A ⊂ B) Λ (B ⊂ A) ⇔ (A= B) 
O halde, karşılıklı olarak birbirinin alt kümesi olan iki küme, birbirine eşittir

      c. Alt Küme Sayısı
Verilen bir kümenin alt küme sayısınu bir örnekle açıklayalım. 

      ÖRNEK

      Verilen A = {1, 2, 3 } kümesinin eleman sayısı s (A) = 3 tür. Bu kümenin alt

kümelerini yazalım. 

Boş küme (elemanı olmayan alt küme): ∅

Bir elemanlı alt kümeleri: {1 }, { 2}, { 3 }

iki elemanlı alt kümeleri: {1, 2} {1, 3}, {2, 3}

Üç elemanlı alt küme (Kümenin kendisi) : {1, 2, 3} dir.

A kümesinin bütün alt kümelerini yazarsak,

∅, {1 }, { 2}, { 3 }, {1, 2} {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} şeklindedir.

Böylece A kümesinin bütün alt kümelerin sayısı sekiz tane olur.

Eleman sayısı verilen alt küme sayısı

Bir kümenin alt kümelerinin sayısı bulunurken, kümenin eleman sayısı kadar 2 yan

yana yazılarak çarpılır.

      ç. Özalt Küme

      I. Özalt Küme

Bir kümenin eğer varsa kendisinden başka her alt kümesine, bu kümenin bir özalt

kümesi denir.

      ÖRNEK 

      A = {a, b, c } kümesinin özalt kümelerini yazalım.

Tanıma göre, yazmamız gereken kümeler; 

∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, (b, c} olur.

      II. Özalt kümelerin sayısı

      n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2n dir. Her küme kendisinin alt kümesidir.

Kendinden başka her alt küme bir özalt küme olacağından, özalt kümelerinin sayısı 

2n- 1 olur 

      d. n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt küme sayısı

1. n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinden her birine, n nin r li 

kombinasyonu denir. Buna göre, n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı ;

   

   

ifadesi ile hesaplanır







2. n elemanlı bir kümenin en çok r elemanlı alt küme sayısı,

 ifadesi ile hesaplanır.






3. n elemanlı bir kümenin en az r elemanlı alt küme sayısı ;

ifadesi ile hesaplanır.






4. n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı,

olur.





      ÖRNEK
      Beş elemanlı bir A kümesinin, üç tane elemanı olan alt kümelerinin sayısını bulalım.

tanedir.





      ÖRNEK
      Altı tane elemanı olan bir A kümesinin , en az üç elemanı olan alt kümelerinin sayısının
bulalım.
      I. Yol: Altı elemanlı bir kümenin en az üç elemanlı alt küme sayısı,

      II. Yol

      ÖRNEK
      A = {1, 3, 5, 7, 9} kümesi veriliyor. Bu kümenin en çok iki elemanlı alt küme
sayısını bulalım.
A = { 1, 3, 5, 7, 9 } olduğundan s (A) = 5 tir. Buna göre, en çok iki elemanlı alt
küme sayısı ,

      e. Kuvvet kümesi
      A herhangi bir küme olmak üzere, A kümesinin bütün alt kümelerinin kümesine, A
kümesinin kuvvet kümesi denir. Kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir.
n elemanlı bir A kümesinin kuvvet kümesinin eleman sayısı 2n dir.

s [p(A)] = 2n olur.

      ÖRNEK
      A = {3, 5, 7} kümesi veriliyor. A kümesinin kuvvet kümesini yazalım. Kuvvet
kümesinin eleman sayısını bulalım

      Verilen A kümesinin bütün alt kümelerini yazarsak,
P(A) = {∅, {3}, {5}, {7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {3, 5, 7}olur.
Böylece A kümesinin kuvvet kümesini yazmış oluruz

A kümesinin eleman sayısı n = 3 olduğundan, s[p(A)] = 2n ifadesinden, 23 = 8 dir.
O halde, A kümesinde kuvvet kümesinin eleman sayısı 8 olur

      5. KÜMELERDE İŞLEMLER

      a. Kümelerin Birleşimi Ve Özelikleri
      I. Kümelerin Birleşimi
      Ave B herhangi iki küme olmak üzere, A kümesi ile B kümesinin bütün elemanlarından
oluşan kümeye, bu iki kümenin bileşimi denir. A ∪ B şeklinde gösterilir. “A bileşim B”
diye okunur.

      A ile B kümelerinin bileşimi, A∪ B = {x | x ∈ AVx ∈ B} şeklinde tanımlanır.
Bu tanıma göre göre, A ⊂ (A∪ B) ve B ⊂ (A∪ B) dir.

      ÖRNEK
      Aşağıdaki işlemlerde verilen kümeler için birleşim kümesini yazalım.
1. {1, 2, 3, 4} ∪ {5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. {1, 2, 3, 4} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}
3. {1, 2, 3, 4} ∪ {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}
4. {1, 2, 3, 4} ∪ { } = {1, 2, 3, 4}
5. {1, 2, 3, 4} ∪ {3, 4} = {1, 2, 3, 4}

      II. Birleflim işleminin Özelikleri
1. Tek kuvvet özeliği: Her A kümesi için, A∪ A =A dır.
2. De¤iflme özeliği: Her A ve B kümesi için, A∪ B = B ∪ A dır.
3. Birleşme özeliği: Her A, B ve C kümesi için, (A∪ B) ∪ C) = A∪ (B ∪ C) dır.
4. Etkisiz eleman özeliği: Her A kümesi için, A∪ ∅ = ∅ ∪ A =A dır

➠       Birleşim işleminde birim (etkisiz) eleman ∅ dir.

      ÖRNEK
      A = {1, 2, 3, 5}, B = {3, 5} ve C = {3, 4, 6} kümeleri veriliyor. Buna göre
(A∪ B) ∪ C kümesini Venn şeması ile gösterelim. Liste yöntemi ile yazalım.

A∪ B) ∪ C kümesi  Venn şeması ile gösterilmiştir.

A, B ve C kümelerinin birleşimini liste yöntemi ile yazmak istersek
A∪ B = {1, 2, 3, 5} kümesidir.
(A∪ B) ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesi olur.













      b. Kümelerin Kesişimi ve Özelikleri
      I. Kümelerin Kesişimi
      Ave B herhangi iki küme olmak üzere, A kümesi ile B kümesinin ortak elemanlarından
oluşan kümeye, bu iki kümenin kesişimi denir. A∩ B şeklinde gösterilir. “A keşisim B”
diye okunur.
      A ile B kümelerinin kesişimiA∩ B = {x | x ∈AΛx ∈ B} şeklinde tanımlanır. Bu
tanıma göre, (A∩ B) ⊂ A ve (A∩ B) ⊂ B dir.

      ÖRNEK 
      Aşağıdaki işlemlerde verilen kümeler için kesişim kümelerini yazalım.
1. {1, 2, 3, 4} ∩ {5, 6} = { }
2. {1, 2, 3, 4} ∩ {3, 4, 5} = {3, 4 }
3. {1, 2, 3, 4} ∩ {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}
4. {1, 2, 3, 4} ∩ { } = { }
5. {1, 2, 3, 4} ∩ {3, 4} = {3, 4}

      II. Kesişim işleminin Özelikleri
1. Tek kuvvet özeliği: Her A kümesi için, A∩ A =A d›r.
2. Değişme özeliği: Her A ve B kümesi için, A∩ B = B ∩ A dır.
3. Birleşme özeliği : Her A, B ve C kümesi için, A∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C dir.
4. Yutan eleman özeliği : Her A kümesi için, A∩ ∅ = ∅ ∩ A = ∅ dır.

➠      Kesişim işleminde yutan eleman (∅) Boş kümedir

      ÖRNEK
      A = {a, b, c, d, e} ve Β = {c, d, e, f, g} kümeleri veriliyor. A ∩ B kümesini liste
şeklinde yazalım ve Venn şeması ile gösterelim.
A ve B kümelerin kesişimini liste yöntemi ile yazarsak, A∩ B = {c, d, e} d i r.

Venn şeması

      c. Ayrık Küme
      Kesişimleri boş küme olan iki kümeye ayrık kümeler denir.
O halde, A ve B kümeleri ayrık kümeler ise A∩ B = ∅ dir.

      ÖRNEK
      A = {a, b, c, d} ve B= {e, f, g, h} kümeleri veriliyor. Bu kümelerin ayrık kümeler
olduğunu gösterelim.
A ve B kümelerin kesişim işlemini yaparsak,
A∩ B = {a, b, c, d} ∩{e, f, g, h} = { } dir.
O halde, A ve B kümelerin kesişimleri boş küme olduğundan ayrık kümelerdir

      ç. Dağılma Özelikleri
      I. Kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine dağılma özeliği
      A, B ve C herhangi üç küme olsun.
A∩ (B ∪ C) = (A∩ B) ∪ (A∩ C) dir.
Bu özeliğe, kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine soldan dağılma özeliği denir.
(A ∪ B) ∩ C = (A∩ C) ∪ (B ∩ C) dir.

      Bu özeliğe, kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine sağdan dağılma özeliği denir.
Kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine hem soldan hem de sağdan dağılma
özeliği olduğundan, kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine dağılma özeliği vardır
denir.

      II. Birleşim işleminin kesişim işlemi üzerine dağılma özeliği
      A, B ve C herhangi üç küme olsun.
A∪ (B ∩ C) = (A∪ B) ∩ (A∪ C) dir.
Bu özeliğe, birleşimi işleminin, kesişim işlemi üzerine, soldan dağılma özeliği denir.
(B ∩ C ) ∪ A = (B ∪ A) ∩ (C ∪ A) dır.
      Bu özeliğe birleşim işleminin, kesişim işlemi üzerine, sağdan dağılma özeliği denir. 

Birleşim işleminin kesişim işlemi üzerine hem soldan, hem de sağdan dağılma

özeliği olduğundan, birleşim işleminin kesişim işlemi üzerine dağılma özeliği vardır

denir.

      d. Birleşim Kümesinin Eleman Sayısı

      I. İki kümenin birleşiminin eleman sayısı

Boş küme olmayan farklı ve sonlu A ve B kümeleri için, 

s (A∪ B) = s (A) + s (B) - s (A∩ B) dir.

A ve B kümeleri ayrık kümeler ise, A ∩ B = ∅ ve s (A ∩ B) = 0 olacağından, 

s (A∪ B) = s (A) + s (B) olur.

      II. Üç kümenin birleşiminin eleman sayısı

      Boş küme olmayan farklı ve sonlu A, B ve C kümeleri için, 

s(A∪B∪C) = s(A) + s(B) + s(C) -s(A∩B) -s(A∩C) - s(B∩C) + s(A∩B∩C) dir.

      ÖRNEK

      Verilen Ave B kümeleri için s (A) = 8,s (B) = 9 ve s (A∩ B) = 3 olduğuna göre,

s (A∪ B) bulalım. 

s (A∪ B) = s (A) + s (B) -s( A∩ B) ifadesinden, s (A∪ B)= 8 + 9 - 3 = 14 olur.

      6. EVRENSEL KÜME

      a. Evrensel küme
      Elemanları incelenen kümeye göre, yapılması gereken bütün işlemleri içine
alabilecek şekilde belirlenen, en geniş kümeye evrensel küme denir.

➠      Genel olarak E ile gösterilir. Evrensel küme sonlu veya sonsuz küme olabilir.
Evrensel küme, incelenen probleme göre değişir. Hiç bir zaman boş küme olamaz.
Evrensel kümeyi Venn şeması ile gösterirken, diğer kümelerden ayırt etmek için
dikdörtgen şeklinde gösterilir.

      ÖRNEK
      Doğal sayılarda çözülen problemler için evrensel küme, bütün doğal sayılardır.
Tam sayılarda çözülen problemler için evrensel küme, bütün tam sayılardır

      b. Evrensel kümenin özelikleri
     A çözüm kümesi çözüm için al›nan E evrensel kümenin bir alt kümesidir. Buna
göre, A ⊂ E dir.
     A çözüm kümesi, çözüm için al›nan E evrensel küme ile kesiflimi, A çözüm
kümesine, A çözüm kümesinin çözüm için al›nan E evrensel küme ile birleflimi
E evrensel kümesine eflittir.

Buna göre, A∩ E = A ve A∪ E = E olur.

      7. TÜMLEME

      a. Tümleme
      E evrensel kümesi içinde bir A kümesi veriliyor.A kümesi, E evrensel kümenin bir
alt kümesidir. Buna göre, E evrensel kümesine ait olup, A kümesine ait olmayan
elemanların oluşturduğu kümeye, A kümesinin tümleyeni denir. A′ veya A sembolü ile
gösterilir.

Buna göre, A′ = {x | x ∈ E Λ x ∉ A} şeklinde yazılır.
Burada, A∪ A′ = E ve A∩ A′ = ∅ dir.













Bir kümenin tümleyeni evrensel kümeye göre belirtilir. Buna göre, bir kümenin
farklı evrensel kümelerde tümleyenleri de farklıdır.

➠      Bir A kümesinden A′ kümesini elde etme işlemine, tümleme işlemi denir.

      ÖRNEK
      E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ve A = {1, 3, 5, 7, 9} kümeleri veriliyor.A kümesinin
tümleyenini liste yöntemi ile yazalım. Venn şeması ile gösterelim.
A′ kümesinin tümleyenini liste yöntemi ile yazmak istersek, A′= {2, 4, 6, 8} kümesi olur.
Venn şeması ile gösterimi

      b. Tümleme işleminin özelikleri
      A, B herhangi iki küme, E evrensel küme ve A′ kümesi A kümesinin, B′ kümesi B
kümesinin tümleyeni ise tümleme işleminin aşağıdaki özelikleri vardır
1. (A′)′ = Α
2. Ε′ = ∅
3. ∅′ = Ε
4. Α ∩ Α′ = ∅
5. A∪ A′ = E
6. A∪ E = E
7. A∩ E = A
8. A ⊂ B ⇒ B′ ⊂A′
9. s(A) + s(A′) = s(E) 

      c. De Morgan Kuralı

      A ve B herhangi iki küme olsun. Bu kümeler üzerinde yapılan birleşim, kesişim

ve tümleme işlemleri arasında De Morgan kuralları vardır.

      Buna göre,

I. (A∪ B)′ =A′ ∩ B′ ve

II. (A∩ B)′ =A′ ∪ B′ dir.

      ÖRNEK

      Verilen [A′ ∪ (B ∩ A)]′ ifadesini en sade şekilde yazalım.

[A′ ∪ (B ∩ A )]′ = (Α′)′ ∩ (B ∩ A)′

=A∩ (B′ ∪ A′)

= (A∩ B′) ∪ (A∩ A′)

= (A∩ B′) ∪ ∅

=A∩ B′ olur

      8.İKİ KÜMENİN FARKI

      a. Kümelerde fark işlemi

      Ave B iki küme olsun. A kümesine ait olup B kümesine ait olmayan elemanlardan

meydana gelen kümeye A fark B kümesi denir. A \ B veya A – B şeklinde gösterilir.

Buna göre, A \ B = { x | x ∈ A ve x ∉ B} olur.

      ÖRNEK
      A= {1, 2, 3, 6, 8} ve B = {1, 3, 5, 7, 9} kümeleri veriliyor.A\ B ve B \ A kümelerini
liste yöntemi ve Venn şeması ile gösterelim.
Verilen A ve B kümeleri için, A\B = { 2, 6, 8} ve B\A= {5, 7, 9} olur.
Fark işlemi ise ;

      b. Kümelerde fark işlemin özelikleri:
      A, B ve C herhangi üç küme ve E evrensel küme veriliyor. A kümesinin tümleyeni A′,
B kümesinin tümleyeni B′ ise verilen kümelerde fark işleminin aşağıdaki özelikleri vardır.
1. A \ A = ∅
2. A \ ∅ =A
3. ∅ \ A = ∅
4. A \ B = A∩ B′
5. A \ B ≠ B \ A
6. E \ A =A′, E \ A′ =A
7. A ⊂ B ise A \ B = ∅ dir.
8. A \ B = A \ (A∩ B)
9. A∩ B = ∅ ise A \ B = A
10. A \ A′ =A , A′ \ A =A′
11. (A\ B) \ C = A \ (B ∪ C)
12. A∩ B = ∅ ise A \ B = A ve B \ A = B
13. (A\ B) ∪ (A∩ B) = A
14. (B \ A) ∪ (A∩ B) = B
15. (A\ C) \ (B \C) = (A \ B) \ C = (A \ C) \ B
16. (A \ B)′ =A′ ∪ B
17. (A\ B) ∪ B = A∪ B
18. (A\ B) \ C = A \ (B ∪ C)
19. s (A∪ B) = s (A) + s (B \ A )
20. s (A∪ B) = s (B) + s (A\ B)
21. s (A∪ B) = s (A\ B) + s (B \ A) + s ( A∩ B)

      c. iki Kümenin Simetrik Farkı
      Herhangi A ve B kümeleri için, A\B ile B\A kümelerinin birleşimine A ile B
kümelerinin simetrik farkı denir. Aile B kümelerin simetrik farkı AΔB şeklinde gösterilir.
Buna göre,AΔB = (A\ B) ∪(B \ A ) dır. Bunu, AΔB = (A∪B) \ (A∩B ) şeklinde de
yazabiliriz.

      ÖRNEK
      A= {a, b, c, d, e } ve B = {c, d, f, g, h} kümeleri veriliyor. Bu kümelerin simetrik
farkını liste yöntemi ve Venn şeması ile gösterelim.
A \ B = {a, b, e }
B \ A = {f, g, h}
A Δ B = (A \ B) ∪ (B \ A)
A Δ B = {a, b, e} ∪ {f, g, h}
A Δ B = {a, b, e, f, g, h } olur.
A ve B kümesinin simetrik farkı Venn şemasında ise ;