4. ALT KÜME (KÜME PARÇASI)

      a) Alt Küme

      Herhangi iki A ve B kümeleri verilmiş olsun. A kümesinin her elemanı B

kümesinin de bir elemanı ise A kümesine B kümesinin bir alt kümesi denir. A ⊂ B

şeklinde yazılır “A alt küme B” diye okunur.
Bu tanıma göre, (A⊂ B) ⇔ (∀ x ∈ A⇒ x ∈ B) dir.
A ⊂ B yi şekildeki gibi Venn şeması ile gösterelim.

 Venn şemasında B kümesi, A kümesini içine aldığından, B ⊃ A dır.
Bu da “B kapsar A” diye okunur.




  

   

      A kümesinde olup B kümesinde olmayan en az bir eleman varsa, A kümesi B
kümesinin bir alt kümesi değildir. Bu durumda B kümesi A kümesini kapsamaz B ⊃ A
veya A ⊄ B fleklinde gösterilir.

      ÖRNEK 
      A = {a, b, c, d, e} ve B = {a, c, e} kümeleri veriliyor. B kümesi, A kümesinin bir alt
kümesi olduğunu Venn şemasıyla gösterelim

Venn şemasında A ile B kümeleri gösterilmiştir. Burada B ⊂ A dır.







     

      b. Alt Kümenin Özelikleri:

      1. Etkisiz eleman özeliği: Boş küme, her kümenin bir alt kümesidir. (∅ ⊂ A) 
      2. Yansıma özeliği: Her küme, kendisinin bir alt kümesidir. (A ⊂ A) 
      3. Geçişme özeliği: A, B ve C kümeleri için, A kümesi B kümesinin alt kümesi ve B 
kümesi de C kümesinin alt kümesi ise A kümesi C kümesinin bir alt kümesidir.
(A ⊂ B)Λ (B ⊂ C) ⇒ (A ⊂ C) (geçişme özeliği)
      4. Ters simetri özeliği: A ve B kümeleri için, A kümesi B kümesinin alt kümesi ve 
B kümesi de A kümesinin alt kümesi ise A kümesi B kümesine eşittir.
(A ⊂ B) Λ (B ⊂ A) ⇔ (A= B) 
O halde, karşılıklı olarak birbirinin alt kümesi olan iki küme, birbirine eşittir

      c. Alt Küme Sayısı
Verilen bir kümenin alt küme sayısınu bir örnekle açıklayalım. 

      ÖRNEK

      Verilen A = {1, 2, 3 } kümesinin eleman sayısı s (A) = 3 tür. Bu kümenin alt

kümelerini yazalım. 

Boş küme (elemanı olmayan alt küme): ∅

Bir elemanlı alt kümeleri: {1 }, { 2}, { 3 }

iki elemanlı alt kümeleri: {1, 2} {1, 3}, {2, 3}

Üç elemanlı alt küme (Kümenin kendisi) : {1, 2, 3} dir.

A kümesinin bütün alt kümelerini yazarsak,

∅, {1 }, { 2}, { 3 }, {1, 2} {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} şeklindedir.

Böylece A kümesinin bütün alt kümelerin sayısı sekiz tane olur.

Eleman sayısı verilen alt küme sayısı

Bir kümenin alt kümelerinin sayısı bulunurken, kümenin eleman sayısı kadar 2 yan

yana yazılarak çarpılır.

      ç. Özalt Küme

      I. Özalt Küme

Bir kümenin eğer varsa kendisinden başka her alt kümesine, bu kümenin bir özalt

kümesi denir.

      ÖRNEK 

      A = {a, b, c } kümesinin özalt kümelerini yazalım.

Tanıma göre, yazmamız gereken kümeler; 

∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, (b, c} olur.

      II. Özalt kümelerin sayısı

      n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2n dir. Her küme kendisinin alt kümesidir.

Kendinden başka her alt küme bir özalt küme olacağından, özalt kümelerinin sayısı 

2n- 1 olur 

      d. n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt küme sayısı

1. n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinden her birine, n nin r li 

kombinasyonu denir. Buna göre, n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı ;

   

   

ifadesi ile hesaplanır







2. n elemanlı bir kümenin en çok r elemanlı alt küme sayısı,

 ifadesi ile hesaplanır.






3. n elemanlı bir kümenin en az r elemanlı alt küme sayısı ;

ifadesi ile hesaplanır.






4. n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı,

olur.





      ÖRNEK
      Beş elemanlı bir A kümesinin, üç tane elemanı olan alt kümelerinin sayısını bulalım.

tanedir.





      ÖRNEK
      Altı tane elemanı olan bir A kümesinin , en az üç elemanı olan alt kümelerinin sayısının
bulalım.
      I. Yol: Altı elemanlı bir kümenin en az üç elemanlı alt küme sayısı,

      II. Yol

      ÖRNEK
      A = {1, 3, 5, 7, 9} kümesi veriliyor. Bu kümenin en çok iki elemanlı alt küme
sayısını bulalım.
A = { 1, 3, 5, 7, 9 } olduğundan s (A) = 5 tir. Buna göre, en çok iki elemanlı alt
küme sayısı ,

      e. Kuvvet kümesi
      A herhangi bir küme olmak üzere, A kümesinin bütün alt kümelerinin kümesine, A
kümesinin kuvvet kümesi denir. Kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir.
n elemanlı bir A kümesinin kuvvet kümesinin eleman sayısı 2n dir.

s [p(A)] = 2n olur.

      ÖRNEK
      A = {3, 5, 7} kümesi veriliyor. A kümesinin kuvvet kümesini yazalım. Kuvvet
kümesinin eleman sayısını bulalım

      Verilen A kümesinin bütün alt kümelerini yazarsak,
P(A) = {∅, {3}, {5}, {7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {3, 5, 7}olur.
Böylece A kümesinin kuvvet kümesini yazmış oluruz

A kümesinin eleman sayısı n = 3 olduğundan, s[p(A)] = 2n ifadesinden, 23 = 8 dir.
O halde, A kümesinde kuvvet kümesinin eleman sayısı 8 olur