a. Evrensel küme
Elemanları incelenen kümeye göre, yapılması gereken bütün işlemleri içine
alabilecek şekilde belirlenen, en geniş kümeye evrensel küme denir.
➠ Genel olarak E ile gösterilir. Evrensel küme sonlu veya sonsuz küme olabilir.
Evrensel küme, incelenen probleme göre değişir. Hiç bir zaman boş küme olamaz.
Evrensel kümeyi Venn şeması ile gösterirken, diğer kümelerden ayırt etmek için
dikdörtgen şeklinde gösterilir.
ÖRNEK
Doğal sayılarda çözülen problemler için evrensel küme, bütün doğal sayılardır.
Tam sayılarda çözülen problemler için evrensel küme, bütün tam sayılardır
b. Evrensel kümenin özelikleri
A çözüm kümesi çözüm için al›nan E evrensel kümenin bir alt kümesidir. Buna
göre, A ⊂ E dir.
A çözüm kümesi, çözüm için al›nan E evrensel küme ile kesiflimi, A çözüm
kümesine, A çözüm kümesinin çözüm için al›nan E evrensel küme ile birleflimi
E evrensel kümesine eflittir.
Buna göre, A∩ E = A ve A∪ E = E olur.
7. TÜMLEME
a. Tümleme
E evrensel kümesi içinde bir A kümesi veriliyor.A kümesi, E evrensel kümenin bir
alt kümesidir. Buna göre, E evrensel kümesine ait olup, A kümesine ait olmayan
elemanların oluşturduğu kümeye, A kümesinin tümleyeni denir. A′ veya A sembolü ile
gösterilir.
Buna göre, A′ = {x | x ∈ E Λ x ∉ A} şeklinde yazılır.
Burada, A∪ A′ = E ve A∩ A′ = ∅ dir.
Bir kümenin tümleyeni evrensel kümeye göre belirtilir. Buna göre, bir kümenin
farklı evrensel kümelerde tümleyenleri de farklıdır.
➠ Bir A kümesinden A′ kümesini elde etme işlemine, tümleme işlemi denir.
ÖRNEK
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ve A = {1, 3, 5, 7, 9} kümeleri veriliyor.A kümesinin
tümleyenini liste yöntemi ile yazalım. Venn şeması ile gösterelim.
A′ kümesinin tümleyenini liste yöntemi ile yazmak istersek, A′= {2, 4, 6, 8} kümesi olur.
Venn şeması ile gösterimi
b. Tümleme işleminin özelikleri
A, B herhangi iki küme, E evrensel küme ve A′ kümesi A kümesinin, B′ kümesi B
kümesinin tümleyeni ise tümleme işleminin aşağıdaki özelikleri vardır
1. (A′)′ = Α
2. Ε′ = ∅
3. ∅′ = Ε
4. Α ∩ Α′ = ∅
5. A∪ A′ = E
6. A∪ E = E
7. A∩ E = A
8. A ⊂ B ⇒ B′ ⊂A′
9. s(A) + s(A′) = s(E)
Elemanları incelenen kümeye göre, yapılması gereken bütün işlemleri içine
alabilecek şekilde belirlenen, en geniş kümeye evrensel küme denir.
➠ Genel olarak E ile gösterilir. Evrensel küme sonlu veya sonsuz küme olabilir.
Evrensel küme, incelenen probleme göre değişir. Hiç bir zaman boş küme olamaz.
Evrensel kümeyi Venn şeması ile gösterirken, diğer kümelerden ayırt etmek için
dikdörtgen şeklinde gösterilir.
ÖRNEK
Doğal sayılarda çözülen problemler için evrensel küme, bütün doğal sayılardır.
Tam sayılarda çözülen problemler için evrensel küme, bütün tam sayılardır
b. Evrensel kümenin özelikleri
A çözüm kümesi çözüm için al›nan E evrensel kümenin bir alt kümesidir. Buna
göre, A ⊂ E dir.
A çözüm kümesi, çözüm için al›nan E evrensel küme ile kesiflimi, A çözüm
kümesine, A çözüm kümesinin çözüm için al›nan E evrensel küme ile birleflimi
E evrensel kümesine eflittir.
Buna göre, A∩ E = A ve A∪ E = E olur.
7. TÜMLEME
a. Tümleme
E evrensel kümesi içinde bir A kümesi veriliyor.A kümesi, E evrensel kümenin bir
alt kümesidir. Buna göre, E evrensel kümesine ait olup, A kümesine ait olmayan
elemanların oluşturduğu kümeye, A kümesinin tümleyeni denir. A′ veya A sembolü ile
gösterilir.
Burada, A∪ A′ = E ve A∩ A′ = ∅ dir.
Bir kümenin tümleyeni evrensel kümeye göre belirtilir. Buna göre, bir kümenin
farklı evrensel kümelerde tümleyenleri de farklıdır.
➠ Bir A kümesinden A′ kümesini elde etme işlemine, tümleme işlemi denir.
ÖRNEK
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ve A = {1, 3, 5, 7, 9} kümeleri veriliyor.A kümesinin
tümleyenini liste yöntemi ile yazalım. Venn şeması ile gösterelim.
A′ kümesinin tümleyenini liste yöntemi ile yazmak istersek, A′= {2, 4, 6, 8} kümesi olur.
Venn şeması ile gösterimi
b. Tümleme işleminin özelikleri
A, B herhangi iki küme, E evrensel küme ve A′ kümesi A kümesinin, B′ kümesi B
kümesinin tümleyeni ise tümleme işleminin aşağıdaki özelikleri vardır
1. (A′)′ = Α
2. Ε′ = ∅
3. ∅′ = Ε
4. Α ∩ Α′ = ∅
5. A∪ A′ = E
6. A∪ E = E
7. A∩ E = A
8. A ⊂ B ⇒ B′ ⊂A′
9. s(A) + s(A′) = s(E)
c. De Morgan Kuralı
A ve B herhangi iki küme olsun. Bu kümeler üzerinde yapılan birleşim, kesişim
ve tümleme işlemleri arasında De Morgan kuralları vardır.
Buna göre,
I. (A∪ B)′ =A′ ∩ B′ ve
II. (A∩ B)′ =A′ ∪ B′ dir.
ÖRNEK
Verilen [A′ ∪ (B ∩ A)]′ ifadesini en sade şekilde yazalım.
[A′ ∪ (B ∩ A )]′ = (Α′)′ ∩ (B ∩ A)′
=A∩ (B′ ∪ A′)
= (A∩ B′) ∪ (A∩ A′)
= (A∩ B′) ∪ ∅
=A∩ B′ olur
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder