5. KÜMELERDE İŞLEMLER
a. Kümelerin Birleşimi Ve Özelikleri
I. Kümelerin Birleşimi
Ave B herhangi iki küme olmak üzere, A kümesi ile B kümesinin bütün elemanlarından
oluşan kümeye, bu iki kümenin bileşimi denir. A ∪ B şeklinde gösterilir. “A bileşim B”
diye okunur.
A ile B kümelerinin bileşimi, A∪ B = {x | x ∈ AVx ∈ B} şeklinde tanımlanır.
Bu tanıma göre göre, A ⊂ (A∪ B) ve B ⊂ (A∪ B) dir.
ÖRNEK
Aşağıdaki işlemlerde verilen kümeler için birleşim kümesini yazalım.
1. {1, 2, 3, 4} ∪ {5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. {1, 2, 3, 4} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}
3. {1, 2, 3, 4} ∪ {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}
4. {1, 2, 3, 4} ∪ { } = {1, 2, 3, 4}
5. {1, 2, 3, 4} ∪ {3, 4} = {1, 2, 3, 4}
II. Birleflim işleminin Özelikleri
1. Tek kuvvet özeliği: Her A kümesi için, A∪ A =A dır.
2. De¤iflme özeliği: Her A ve B kümesi için, A∪ B = B ∪ A dır.
3. Birleşme özeliği: Her A, B ve C kümesi için, (A∪ B) ∪ C) = A∪ (B ∪ C) dır.
4. Etkisiz eleman özeliği: Her A kümesi için, A∪ ∅ = ∅ ∪ A =A dır
➠ Birleşim işleminde birim (etkisiz) eleman ∅ dir.
ÖRNEK
A = {1, 2, 3, 5}, B = {3, 5} ve C = {3, 4, 6} kümeleri veriliyor. Buna göre
(A∪ B) ∪ C kümesini Venn şeması ile gösterelim. Liste yöntemi ile yazalım.
A∪ B) ∪ C kümesi Venn şeması ile gösterilmiştir.
A, B ve C kümelerinin birleşimini liste yöntemi ile yazmak istersek
A∪ B = {1, 2, 3, 5} kümesidir.
(A∪ B) ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesi olur.
b. Kümelerin Kesişimi ve Özelikleri
I. Kümelerin Kesişimi
Ave B herhangi iki küme olmak üzere, A kümesi ile B kümesinin ortak elemanlarından
oluşan kümeye, bu iki kümenin kesişimi denir. A∩ B şeklinde gösterilir. “A keşisim B”
diye okunur.
A ile B kümelerinin kesişimiA∩ B = {x | x ∈AΛx ∈ B} şeklinde tanımlanır. Bu
tanıma göre, (A∩ B) ⊂ A ve (A∩ B) ⊂ B dir.
ÖRNEK
Aşağıdaki işlemlerde verilen kümeler için kesişim kümelerini yazalım.
1. {1, 2, 3, 4} ∩ {5, 6} = { }
2. {1, 2, 3, 4} ∩ {3, 4, 5} = {3, 4 }
3. {1, 2, 3, 4} ∩ {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}
4. {1, 2, 3, 4} ∩ { } = { }
5. {1, 2, 3, 4} ∩ {3, 4} = {3, 4}
II. Kesişim işleminin Özelikleri
1. Tek kuvvet özeliği: Her A kümesi için, A∩ A =A d›r.
2. Değişme özeliği: Her A ve B kümesi için, A∩ B = B ∩ A dır.
3. Birleşme özeliği : Her A, B ve C kümesi için, A∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C dir.
4. Yutan eleman özeliği : Her A kümesi için, A∩ ∅ = ∅ ∩ A = ∅ dır.
➠ Kesişim işleminde yutan eleman (∅) Boş kümedir
ÖRNEK
A = {a, b, c, d, e} ve Β = {c, d, e, f, g} kümeleri veriliyor. A ∩ B kümesini liste
şeklinde yazalım ve Venn şeması ile gösterelim.
A ve B kümelerin kesişimini liste yöntemi ile yazarsak, A∩ B = {c, d, e} d i r.
Venn şeması
c. Ayrık Küme
Kesişimleri boş küme olan iki kümeye ayrık kümeler denir.
O halde, A ve B kümeleri ayrık kümeler ise A∩ B = ∅ dir.
ÖRNEK
A = {a, b, c, d} ve B= {e, f, g, h} kümeleri veriliyor. Bu kümelerin ayrık kümeler
olduğunu gösterelim.
A ve B kümelerin kesişim işlemini yaparsak,
A∩ B = {a, b, c, d} ∩{e, f, g, h} = { } dir.
O halde, A ve B kümelerin kesişimleri boş küme olduğundan ayrık kümelerdir
ç. Dağılma Özelikleri
I. Kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine dağılma özeliği
A, B ve C herhangi üç küme olsun.
A∩ (B ∪ C) = (A∩ B) ∪ (A∩ C) dir.
Bu özeliğe, kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine soldan dağılma özeliği denir.
(A ∪ B) ∩ C = (A∩ C) ∪ (B ∩ C) dir.
Bu özeliğe, kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine sağdan dağılma özeliği denir.
Kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine hem soldan hem de sağdan dağılma
özeliği olduğundan, kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine dağılma özeliği vardır
denir.
II. Birleşim işleminin kesişim işlemi üzerine dağılma özeliği
A, B ve C herhangi üç küme olsun.
A∪ (B ∩ C) = (A∪ B) ∩ (A∪ C) dir.
Bu özeliğe, birleşimi işleminin, kesişim işlemi üzerine, soldan dağılma özeliği denir.
(B ∩ C ) ∪ A = (B ∪ A) ∩ (C ∪ A) dır.
Bu özeliğe birleşim işleminin, kesişim işlemi üzerine, sağdan dağılma özeliği denir.
a. Kümelerin Birleşimi Ve Özelikleri
I. Kümelerin Birleşimi
Ave B herhangi iki küme olmak üzere, A kümesi ile B kümesinin bütün elemanlarından
oluşan kümeye, bu iki kümenin bileşimi denir. A ∪ B şeklinde gösterilir. “A bileşim B”
diye okunur.
A ile B kümelerinin bileşimi, A∪ B = {x | x ∈ AVx ∈ B} şeklinde tanımlanır.
Bu tanıma göre göre, A ⊂ (A∪ B) ve B ⊂ (A∪ B) dir.
ÖRNEK
Aşağıdaki işlemlerde verilen kümeler için birleşim kümesini yazalım.
1. {1, 2, 3, 4} ∪ {5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. {1, 2, 3, 4} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}
3. {1, 2, 3, 4} ∪ {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}
4. {1, 2, 3, 4} ∪ { } = {1, 2, 3, 4}
5. {1, 2, 3, 4} ∪ {3, 4} = {1, 2, 3, 4}
II. Birleflim işleminin Özelikleri
1. Tek kuvvet özeliği: Her A kümesi için, A∪ A =A dır.
2. De¤iflme özeliği: Her A ve B kümesi için, A∪ B = B ∪ A dır.
3. Birleşme özeliği: Her A, B ve C kümesi için, (A∪ B) ∪ C) = A∪ (B ∪ C) dır.
4. Etkisiz eleman özeliği: Her A kümesi için, A∪ ∅ = ∅ ∪ A =A dır
➠ Birleşim işleminde birim (etkisiz) eleman ∅ dir.
ÖRNEK
A = {1, 2, 3, 5}, B = {3, 5} ve C = {3, 4, 6} kümeleri veriliyor. Buna göre
(A∪ B) ∪ C kümesini Venn şeması ile gösterelim. Liste yöntemi ile yazalım.
A∪ B) ∪ C kümesi Venn şeması ile gösterilmiştir.
A, B ve C kümelerinin birleşimini liste yöntemi ile yazmak istersek
A∪ B = {1, 2, 3, 5} kümesidir.
(A∪ B) ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesi olur.
b. Kümelerin Kesişimi ve Özelikleri
I. Kümelerin Kesişimi
Ave B herhangi iki küme olmak üzere, A kümesi ile B kümesinin ortak elemanlarından
oluşan kümeye, bu iki kümenin kesişimi denir. A∩ B şeklinde gösterilir. “A keşisim B”
diye okunur.
A ile B kümelerinin kesişimiA∩ B = {x | x ∈AΛx ∈ B} şeklinde tanımlanır. Bu
tanıma göre, (A∩ B) ⊂ A ve (A∩ B) ⊂ B dir.
ÖRNEK
Aşağıdaki işlemlerde verilen kümeler için kesişim kümelerini yazalım.
1. {1, 2, 3, 4} ∩ {5, 6} = { }
2. {1, 2, 3, 4} ∩ {3, 4, 5} = {3, 4 }
3. {1, 2, 3, 4} ∩ {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}
4. {1, 2, 3, 4} ∩ { } = { }
5. {1, 2, 3, 4} ∩ {3, 4} = {3, 4}
II. Kesişim işleminin Özelikleri
1. Tek kuvvet özeliği: Her A kümesi için, A∩ A =A d›r.
2. Değişme özeliği: Her A ve B kümesi için, A∩ B = B ∩ A dır.
3. Birleşme özeliği : Her A, B ve C kümesi için, A∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C dir.
4. Yutan eleman özeliği : Her A kümesi için, A∩ ∅ = ∅ ∩ A = ∅ dır.
➠ Kesişim işleminde yutan eleman (∅) Boş kümedir
ÖRNEK
A = {a, b, c, d, e} ve Β = {c, d, e, f, g} kümeleri veriliyor. A ∩ B kümesini liste
şeklinde yazalım ve Venn şeması ile gösterelim.
A ve B kümelerin kesişimini liste yöntemi ile yazarsak, A∩ B = {c, d, e} d i r.
Venn şeması
c. Ayrık Küme
Kesişimleri boş küme olan iki kümeye ayrık kümeler denir.
O halde, A ve B kümeleri ayrık kümeler ise A∩ B = ∅ dir.
ÖRNEK
A = {a, b, c, d} ve B= {e, f, g, h} kümeleri veriliyor. Bu kümelerin ayrık kümeler
olduğunu gösterelim.
A ve B kümelerin kesişim işlemini yaparsak,
A∩ B = {a, b, c, d} ∩{e, f, g, h} = { } dir.
O halde, A ve B kümelerin kesişimleri boş küme olduğundan ayrık kümelerdir
ç. Dağılma Özelikleri
I. Kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine dağılma özeliği
A, B ve C herhangi üç küme olsun.
A∩ (B ∪ C) = (A∩ B) ∪ (A∩ C) dir.
Bu özeliğe, kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine soldan dağılma özeliği denir.
(A ∪ B) ∩ C = (A∩ C) ∪ (B ∩ C) dir.
Bu özeliğe, kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine sağdan dağılma özeliği denir.
Kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine hem soldan hem de sağdan dağılma
özeliği olduğundan, kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine dağılma özeliği vardır
denir.
II. Birleşim işleminin kesişim işlemi üzerine dağılma özeliği
A, B ve C herhangi üç küme olsun.
A∪ (B ∩ C) = (A∪ B) ∩ (A∪ C) dir.
Bu özeliğe, birleşimi işleminin, kesişim işlemi üzerine, soldan dağılma özeliği denir.
(B ∩ C ) ∪ A = (B ∪ A) ∩ (C ∪ A) dır.
Bu özeliğe birleşim işleminin, kesişim işlemi üzerine, sağdan dağılma özeliği denir.
Birleşim işleminin kesişim işlemi üzerine hem soldan, hem de sağdan dağılma
özeliği olduğundan, birleşim işleminin kesişim işlemi üzerine dağılma özeliği vardır
denir.
d. Birleşim Kümesinin Eleman Sayısı
I. İki kümenin birleşiminin eleman sayısı
Boş küme olmayan farklı ve sonlu A ve B kümeleri için,
s (A∪ B) = s (A) + s (B) - s (A∩ B) dir.
A ve B kümeleri ayrık kümeler ise, A ∩ B = ∅ ve s (A ∩ B) = 0 olacağından,
s (A∪ B) = s (A) + s (B) olur.
II. Üç kümenin birleşiminin eleman sayısı
Boş küme olmayan farklı ve sonlu A, B ve C kümeleri için,
s(A∪B∪C) = s(A) + s(B) + s(C) -s(A∩B) -s(A∩C) - s(B∩C) + s(A∩B∩C) dir.
ÖRNEK
Verilen Ave B kümeleri için s (A) = 8,s (B) = 9 ve s (A∩ B) = 3 olduğuna göre,
s (A∪ B) bulalım.
s (A∪ B) = s (A) + s (B) -s( A∩ B) ifadesinden, s (A∪ B)= 8 + 9 - 3 = 14 olur.
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder